Pythonでノルムを計算する方法

2024年7月7日2024年8月21日

Pythonは、科学計算やデータ分析に適した強力なプログラミング言語です。

特に、線形代数に関連する操作を行う際には、ノルム（norm）の計算がよく必要になります。

ノルムはベクトルや行列の「長さ」や「大きさ」を表す指標であり、さまざまな種類があります。

本記事では、Pythonを用いたノルムの計算方法について詳しく解説します。

ノルムとは何か？

ノルムは、数学や物理学においてベクトルの長さや大きさを定量化するための指標です。

ノルムの種類により計算方法や意味が異なりますが、一般的には次の3つのノルムがよく使用されます。

L1ノルム（マンハッタンノルム）: 各成分の絶対値の和
L2ノルム（ユークリッドノルム）: 各成分の二乗の和の平方根
無限ノルム: 各成分の絶対値の最大値

NumPyライブラリを使用したノルムの計算

Pythonでノルムを計算するためには、NumPyライブラリが非常に便利です。

NumPyは、科学計算向けの強力なライブラリで、ベクトルや行列の操作が簡単に行えます。

以下の例では、NumPyを使用してベクトルのL1ノルム、L2ノルム、および無限ノルムを計算します。

import numpy as np

# ベクトルの定義
vector = np.array([1, 2, 3, 4])

# L1ノルムの計算
l1_norm = np.linalg.norm(vector, ord=1)
print(f"L1ノルム: {l1_norm}")

# L2ノルムの計算
l2_norm = np.linalg.norm(vector)
print(f"L2ノルム: {l2_norm}")

# 無限ノルムの計算
inf_norm = np.linalg.norm(vector, ord=np.inf)
print(f"無限ノルム: {inf_norm}")

このコードを実行すると、それぞれのノルムが計算されて表示されます。

NumPyのnp.linalg.norm関数は汎用性が高く、第二引数「ord」を使ってノルムの種類を指定することができます。

スパース行列のノルムの計算

大量のデータを扱う際には、スパース行列（要素の多くがゼロである行列）が役立ちます。

scipy.sparseライブラリを使用すると、スパース行列のノルムを簡単に計算できます。

以下にスパース行列のノルムを計算する例を示します。

from scipy.sparse import csr_matrix
import numpy as np

# スパース行列の定義
sparse_matrix = csr_matrix(([3, 1, 2], ([0, 1, 1], [0, 2, 3])), shape=(3, 4))

# スパース行列のL2ノルムの計算
l2_norm_sparse = np.linalg.norm(sparse_matrix.toarray())
print(f"スパース行列のL2ノルム: {l2_norm_sparse}")

この例では、scipy.sparseライブラリを使用してスパース行列を定義し、toarrayメソッドを使って通常のNumPy配列に変換しています。

その後、通常のノルム計算を行うことでスパース行列のノルムを求めています。